函数y=sin⁵(15x²+13x+3)的导数计算

本文主要用复合函数求导法则、链式求导法则以及取对数求导等方法，介绍计算函数y=sin⁵(15x²+13x+3)一阶和二阶导数的步骤。

由复合函数求导法则，对x求导有：

dy/dx=5*sin⁴(15x²+13x+3)*cos(15x²+13x+3)*(15x²+13x+3)’

=5*sin⁴ (15x²+13x+3)*cos(15x²+13x+3)*(30x+13),

=5(30x+13)*sin⁴ (15x²+13x+3) *cos(15x²+13x+3).

首先对方程两边取对数，有：

lny=lnsin⁵(15x²+13x+3),

lny=5lnsin(15x²+13x+3),

方程两边同时对x求导，有：

y’/y=5 [sin(15x²+13x+3)]’/sin(15x²+13x+3),

y’/y=5 [cos(15x²+13x+3)](30x+13)/sin(15x²+13x+3),

y’=sin⁵(15x²+13x+3)*5[cos(15x²+13x+3)](30x+13)/sin(15x²+13x+3),

y’=sin⁴ (15x²+13x+3)*5[cos(15x²+13x+3)](30x+13),

=5 (30x+13)sin⁴ (15x²+13x+3)*cos(15x²+13x+3).

本处根据函数特征，采取取对数计算导数，

首先对函数两边同时取对数，有：

lny’=ln5(30x+13)sin⁴ (15x²+13x+3)*cos(15x²+13x+3),则：

lny’=ln5+ln(30x+13)+4lnsin(15x²+13x+3)+lncos(15x²+13x+3),

对方程两边同时对x再次求导，

y’’/y’=30/(30x+13)+4[sin(15x²+13x+3)]’/sin(15x²+13x+3)

+[cos(15x²+13x+3)]’/cos(15x²+13x+3),

=30/(30x+13)+4cos(15x²+13x+3)(30x+13)/sin(15x²+13x+3)-

sin(15x²+13x+3)(30x+13)/cos(15x²+13x+3),

=30/(30x+13)+4(30x+13)ctg(15x²+13x+3)-(30x+13)tan(15x²+13x+3),

则：

y’’=5(30x+13)sin⁴ (15x²+13x+3)*cos(15x²+13x+3)[30/(30x+13)+

4(30x+13)ctg(15x²+13x+3)-(30x+13)tan(15x²+13x+3)],

=150sin⁴ (15x²+13x+3)*cos(15x²+13x+3)+20(30x+13)²sin³(15x^2+13x+3)*

cos²(15x²+13x+3)-5(30x+13)²sin⁵(15x²+13x+3),

=75sin³(15x²+13x+3)*sin(30x²+26x+6)+20(30x+13)²sin³(15x²+13x+3)*

cos²(15x²+13x+3)-5(30x+13)²sin⁵(15x²+13x+3)。